이차방정식 풀기

판별식 D = b² − 4ac 는 근의 종류를 판별하는 식. 근의 공식 √ 안의 값. D > 0 이면 서로 다른 두 실근, D = 0 이면 중근(이중근), D < 0 이면 복소근. 한국 중3 수학 과정 핵심 — 「해를 구해라」 와 「해를 갖는 조건을 구해라」 둘 다 D 로 풀이.

방정식의 두 해가 정확히 같은 값일 때. 예: x² − 6x + 9 = 0 → (x−3)² = 0 → x = 3 (중근). 두 개의 해가 모두 3이라 「이중근」 이라고도 부름. 포물선 그래프가 x축에 「접하는」 상태 (교점 1개).

복소수는 고1 수학에서 도입. 중3 과정에서는 D < 0 일 때 「실근 없음」 또는 「해가 없다」 로 답. 본 계산기는 D < 0 시 복소근 + 「중3 에서는 해 없음으로 답」 안내 추가 — 학년별 답안 형식 차이 주의.

이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 해는 곧 포물선 y = ax² + bx + c 가 x축과 만나는 x 좌표. 꼭짓점은 포물선의 최솟값(a>0) 또는 최댓값(a<0). 「해의 개수」 와 「꼭짓점 y 값 부호」 가 직결 — D > 0 ↔ 꼭짓점이 x축 다른 쪽. 그래프 해석에 필수.

두 근을 직접 구하지 않아도 합·곱을 알 수 있을 때 유용. 예: 「두 근의 차가 3인 방정식」, 「두 근이 모두 양수인 조건」 등. 합 = −b/a, 곱 = c/a. 한국 고1 수학 II 「방정식과 부등식」 단원 핵심 — 본 계산기는 모든 케이스에서 자동 표시.

a = 0 이면 이차방정식이 아닌 1차방정식 (bx + c = 0) 이 됩니다. 본 계산기는 a = 0 입력 시 1차방정식으로 풀이 (x = −c/b) — 단 「이차방정식」 풀이가 아니므로 시험 답안에서는 사용 주의. a, b, c 모두 0 이면 「항등식」 (모든 x 가 해) 또는 「모순」 (해 없음).

계수가 정수이고 두 근이 깔끔한 정수·간단한 유리수일 때는 인수분해가 훨씬 빠릅니다. 예: x² − 5x + 6 = 0 → (x−2)(x−3) 은 암산 수준. 반면 계수가 복잡하거나 D 가 완전제곱수가 아닐 때 (무리수 해)는 근의 공식이 안전합니다. 시험에서는 먼저 인수분해 30초 시도 → 안 보이면 근의 공식 전환이 보편적 전략.

(1) 꼭짓점 좌표를 구할 때 — y = a(x − p)² + q 형태에서 꼭짓점이 (p, q). (2) 이차함수의 최댓값·최솟값 문제. (3) 부등식 풀이 (x² − 4x + 1 ≤ 0 같은). (4) 근의 공식 유도 과정 자체. 한국 고1 「이차함수」 단원에서 평방완성을 집중 학습합니다. 본 계산기는 꼭짓점도 함께 출력해 평방완성 결과를 검산할 수 있습니다.

「두 근의 합과 곱이 주어질 때 방정식 구하기」, 「두 근에 대한 대칭식(α² + β², α³ + β³ 등) 의 값」, 「한 근이 다른 근의 k 배일 조건」 등이 단골 출제. 합 = −b/a, 곱 = c/a 만 외우면 두 근을 직접 구하지 않아도 풀이 가능. 한국 고1 수학 II 와 수능 공통과목 단골 유형.

중3 「이차방정식」 → 고1 공통수학 1 「방정식과 부등식」 → 수능 공통과목 「수학 I」 함수 단원까지 연결되는 핵심 개념. 이차함수·이차부등식·근과 계수 관계·판별식 등 파생 단원이 많아 기초 누적 학습이 중요합니다. 수능 공통과목 30 문항 중 직간접 활용 문항이 보통 5~7 문항 수준.

복소근도 비에타 정리가 그대로 적용됩니다. x² + x + 1 = 0 의 두 근 α = (−1+√3 i)/2, β = (−1−√3 i)/2 에 대해 α + β = −1 = −b/a, αβ = 1 = c/a. 켤레 복소수이므로 합·곱 모두 실수가 됩니다. 본 계산기는 D < 0 케이스에서도 합·곱을 자동 표시합니다.