예시 1: 12, 18 (두 수 · 일반)
- 개수
- 2개
- 첫 번째 수
- 12
- 두 번째 수
- 18
결과
GCD 6 · LCM 36
호제법: 18 mod 12 = 6 → 12 mod 6 = 0 → GCD = 6. 최소공배수 = (12 ÷ 6) × 18 = 36. 공약수는 1, 2, 3, 6. 최대공약수가 1보다 크므로 서로소가 아닙니다.
최대공약수·최소공배수 계산기
두 수 또는 세 수의 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)를 유클리드 호제법으로 한 번에 계산. 서로소 여부·공약수 목록까지 안내하는 초·중학교 수학 학습 도구.
2026년 기준·유클리드 호제법(Euclidean Algorithm) 기준 — 최…
- 기준 법령
- 유클리드 호제법(Euclidean Algorithm) 기준 — 최대공약수는 호제법, 최소공배수는 (두 수의 곱 ÷ 최대공약수). 세 수는 두 수씩 결합 계산. 한국 초·중학교 수학 교육과정(교육부 고시) 표준 산식. 수학적 사실로 법령 변동 없음.
최종 사이트 검토: 2026년 6월 · 정밀 근거는 결과 영역 아래 「계산 기준·검증 정보」 카드에서 확인하실 수 있습니다.
입력 정보
1 ~ 1,000,000 사이
1 ~ 1,000,000 사이
1 ~ 1,000,000 사이
계산 결과
입력 정보를 입력하면
결과가 자동으로 계산됩니다.
계산 기준·검증 정보
- 기준 법령
- 유클리드 호제법(Euclidean Algorithm) 기준 — 최대공약수는 호제법, 최소공배수는 (두 수의 곱 ÷ 최대공약수). 세 수는 두 수씩 결합 계산. 한국 초·중학교 수학 교육과정(교육부 고시) 표준 산식. 수학적 사실로 법령 변동 없음.
- 기준 연도
- 2026년
- 최종 검토
- 2026년 6월 — 전 계산기 산식·상수 현행 법령 대조 검토
- 검증 방식
- 정부 공시·법령 원문 대조 + 골든 테스트(수기 검산값 고정 자동 회귀 검증, 배포 전 필수 통과)
계산 방법론·데이터 출처·검증 절차 전체는 CalcNara 소개에서 확인하실 수 있습니다.
입력 유형 × 풀이 단계 최대공약수·최소공배수 매트릭스
한국 초·중학교 수학 교육과정 표준 산식 기준입니다. 최대공약수는 유클리드 호제법(나머지 연산 반복), 최소공배수는 (두 수의 곱 ÷ 최대공약수)로 계산하며, 세 수는 두 수씩 차례로 결합합니다. 아래 값은 본 계산기 로직으로 검산한 결과입니다.
| 입력 유형 | 입력 예시 (소인수분해) | 계산 과정 (호제법·결합) | 결과 (GCD·LCM·서로소) |
|---|---|---|---|
| 두 수 · 일반 | 12, 18 2²·3 / 2·3² 공약수 1·2·3·6 | GCD(12, 18) 18 % 12 = 6 → 12 % 6 = 0 호제법 2단계 | GCD 6 · LCM 36 LCM = (12 ÷ 6) × 18 서로소 아님 |
| 두 수 · 서로소 | 8, 15 2³ / 3·5 공약수 1뿐 | GCD(8, 15) 15%8=7 → 8%7=1 → 7%1=0 호제법 3단계 | GCD 1 · LCM 120 LCM = 8 × 15 서로소 (GCD=1) |
| 두 수 · 배수 관계 | 16, 48 48 = 16 × 3 한 수가 다른 수의 배수 | GCD(16, 48) 48 % 16 = 0 호제법 1단계 | GCD 16 · LCM 48 작은 수 = GCD, 큰 수 = LCM 서로소 아님 |
| 세 수 · 결합 | 12, 18, 24 2²·3 / 2·3² / 2³·3 두 수씩 차례로 결합 | GCD·LCM 결합 GCD(12,18)=6 → GCD(6,24)=6 LCM(12,18)=36 → LCM(36,24)=72 | GCD 6 · LCM 72 2³·3² = 72 서로소 아님 |
최대공약수·최소공배수 계산기와 함께 자주 사용되는 계산기
수학·교육 학습 cycle 인접 계산기 5종.
1. 계산기 사용법
최대공약수·최소공배수 계산기는 두 수 또는 세 수의 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)를 유클리드 호제법으로 한 번에 계산합니다. 호제법 단계·서로소 여부·공약수 전체 목록까지 함께 표시해 학습·검산에 활용할 수 있습니다.
사용 흐름:
- 계산할 수의 개수 선택 (2개 또는 3개)
- 각 수 입력 — 1 이상 1,000,000 이하의 정수
- 결과: 최대공약수 + 최소공배수 + 서로소 여부 + 공약수 목록 + 계산 과정
입력 제한: 0·음수·소수는 최대공약수·최소공배수가 수학적으로 정의되지 않아 안내 메시지를 반환합니다. 최소공배수가 안전 정수 범위(2⁵³)를 넘으면 입력값을 줄여 다시 계산해 주세요.
결과 해석 가이드: 최대공약수가 1이면 두 수는 서로소이며 최소공배수는 두 수의 곱과 같습니다. 분수를 약분할 때는 최대공약수, 분모가 다른 분수를 통분할 때는 최소공배수를 사용한다고 해석하면 됩니다. 공약수 목록은 약분 단계를 검산하는 데 활용할 수 있습니다.
계산 한계 (단순화): 오버플로 방지를 위해 곱을 먼저 나누는 방식으로 단순화했으므로 입력값이 안전 정수 범위를 넘으면 결과 대신 안내 메시지가 표시됩니다. 학습·검산 보조용 참고 도구이며 시험 답안은 풀이 과정을 직접 작성하는 것을 권장합니다.
2. 계산 공식
최대공약수·최소공배수 표준 산식
◆ 최대공약수 (유클리드 호제법)
GCD(a, b): b ≠ 0 인 동안
(a, b) ← (b, a mod b) 반복
b = 0 이 되면 그때의 a 가 GCD
◆ 최소공배수 (곱 ÷ GCD)
LCM(a, b) = (a ÷ GCD(a, b)) × b
◆ 세 수 결합 법칙
GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c)
LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
◆ 서로소 판정
GCD = 1 ⇒ 서로소GCD와 LCM의 관계: 두 수 a, b에 대해 GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b가 항상 성립합니다. 그래서 최소공배수는 「두 수의 곱 ÷ 최대공약수」로 구할 수 있으며, 곱을 먼저 나눠 오버플로를 최소화합니다.
3. 실제 계산 예시
예시 2: 8, 15 (두 수 · 서로소)
- 개수
- 2개
- 첫 번째 수
- 8
- 두 번째 수
- 15
결과
GCD 1 · LCM 120
호제법: 15 mod 8 = 7 → 8 mod 7 = 1 → 7 mod 1 = 0 → GCD = 1. 최대공약수가 1이므로 서로소이고, 최소공배수는 두 수의 곱 8 × 15 = 120입니다.
예시 3: 12, 18, 24 (세 수 · 결합)
- 개수
- 3개
- 첫 번째 수
- 12
- 두 번째 수
- 18
- 세 번째 수
- 24
결과
GCD 6 · LCM 72
GCD: GCD(12,18)=6 → GCD(6,24)=6. LCM: LCM(12,18)=36 → LCM(36,24)=72. 소인수로 검산하면 12=2²·3, 18=2·3², 24=2³·3 → GCD=2·3=6, LCM=2³·3²=72로 일치합니다.
4. 자주 묻는 질문
Q1. 최대공약수와 최소공배수는 무엇이 다른가요?
최대공약수(GCD)는 두 수 이상을 동시에 나누어떨어지게 하는 가장 큰 자연수이고, 최소공배수(LCM)는 두 수 이상의 공통 배수 중 가장 작은 자연수입니다. 예를 들어 12와 18의 최대공약수는 6, 최소공배수는 36입니다. 약분에는 최대공약수, 통분에는 최소공배수를 사용합니다.
Q2. 유클리드 호제법은 어떻게 작동하나요?
큰 수를 작은 수로 나눈 나머지를 구하고, 그 나머지로 다시 나누기를 나머지가 0이 될 때까지 반복합니다. 나머지가 0이 되는 순간의 제수가 최대공약수입니다. 소인수분해보다 단계가 적어 큰 수에서도 빠르게 계산됩니다. 예: GCD(18,12) → 18%12=6 → 12%6=0 → 6.
Q3. 서로소는 무슨 뜻인가요?
두 수의 최대공약수가 1인 관계를 서로소라고 합니다. 1을 제외하면 공통으로 나누어떨어지는 수가 없다는 의미이며, 이때 최소공배수는 두 수의 곱과 같습니다. 예를 들어 8과 15는 서로소이고 최소공배수는 8×15=120입니다.
Q4. 최소공배수는 왜 두 수의 곱을 최대공약수로 나누나요?
두 수 a, b에 대해 GCD(a,b) × LCM(a,b) = a × b 라는 관계가 항상 성립하기 때문입니다. 두 수의 곱에는 공통 인수가 한 번 더 들어 있어, 최대공약수로 한 번 나누면 가장 작은 공통 배수가 됩니다. 예: 12×18=216, 216÷6=36.
Q5. 세 수의 최대공약수·최소공배수는 어떻게 구하나요?
두 수씩 차례로 결합해 계산합니다. GCD(a,b,c)=GCD(GCD(a,b),c), LCM(a,b,c)=LCM(LCM(a,b),c) 입니다. 예: 12, 18, 24의 최대공약수는 GCD(GCD(12,18),24)=GCD(6,24)=6, 최소공배수는 LCM(LCM(12,18),24)=LCM(36,24)=72입니다.
Q6. 약수·배수 학습이나 분수 계산에 어떻게 활용하나요?
분수를 기약분수로 만들 때는 분자와 분모의 최대공약수로 약분하고, 분모가 다른 분수를 더하거나 뺄 때는 분모의 최소공배수로 통분합니다. 본 계산기는 호제법 과정·서로소 여부·공약수 목록을 함께 보여 주어 초·중학교 약수·배수 단원 학습과 검산에 활용할 수 있습니다.
Q7. 0이나 소수, 음수도 계산할 수 있나요?
할 수 없습니다. 최대공약수·최소공배수는 1 이상의 자연수(정수)에 대해 정의되는 개념이므로 0·음수·소수를 입력하면 안내 메시지를 반환합니다. 입력 가능한 범위는 1 이상 1,000,000 이하의 정수입니다.
5. 관련 법령·정보 출처
- 교육부 — 수학과 교육과정 — 초·중학교 약수·배수 단원 표준 산식
- 한국과학창의재단 — 수학 교육 — 약수·배수·호제법 학습 자료
- EBS 수학 — 약수와 배수 단원 — 초·중학교 약수·배수 무료 강의
최대공약수·최소공배수란 — 호제법의 원리
최대공약수(GCD)는 두 수 이상을 동시에 나누어떨어지게 하는 가장 큰 자연수이고, 최소공배수(LCM)는 두 수 이상의 공통 배수 중 가장 작은 자연수입니다. 본 계산기는 최대공약수를 유클리드 호제법(나머지 연산을 반복해 0이 될 때의 제수가 GCD)으로 구하고, 최소공배수는 「두 수의 곱 ÷ 최대공약수」 관계로 계산합니다. 모든 풀이는 한국 초·중학교 수학 교육과정의 표준 산식을 따르며, 외부 데이터 없이 입력값만으로 결정되는 순수 계산입니다.
입력값과 처리 기준
- 계산할 수의 개수 — 2개 또는 3개 중 선택.
- 각 수 — 1 이상 1,000,000 이하의 정수.
- 0·음수·소수 — 최대공약수·최소공배수가 수학적으로 정의되지 않아 안내 메시지를 반환합니다.
세 수를 선택하면 두 수씩 차례로 결합해 계산합니다. 최소공배수가 안전 정수 범위(2⁵³, 약 9,007조)를 넘으면 정확도 보장을 위해 범위 초과 안내를 표시하므로, 입력값을 줄여 다시 계산해 주세요.
계산 산식 — 호제법과 결합 법칙
◆ 최대공약수 (유클리드 호제법)
GCD(a, b): b ≠ 0 인 동안
(a, b) ← (b, a mod b) 반복
b = 0 이 되면 a 가 최대공약수
◆ 최소공배수 (곱 ÷ GCD)
LCM(a, b) = (a ÷ GCD(a, b)) × b
← 곱을 먼저 나눠 오버플로 최소화
◆ 세 수 결합 법칙
GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c)
LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
◆ 서로소 판정
GCD = 1 이면 서로소 (1 외 공약수 없음)
◆ 공약수 전체
최대공약수의 모든 약수가 곧 공약수사례 비교 — 일반·서로소·배수·세 수
◆ 12, 18 (일반)
18%12=6 → 12%6=0 ⇒ GCD 6
LCM = (12 ÷ 6) × 18 = 36
◆ 8, 15 (서로소)
15%8=7 → 8%7=1 → 7%1=0 ⇒ GCD 1
LCM = 8 × 15 = 120 (서로소)
◆ 16, 48 (배수 관계)
48%16=0 ⇒ GCD 16, LCM 48
작은 수가 GCD, 큰 수가 LCM
◆ 12, 18, 24 (세 수)
GCD(12,18)=6 → GCD(6,24)=6
LCM(12,18)=36 → LCM(36,24)=72서로소(GCD=1)이면 최소공배수가 단순히 두 수의 곱이 됩니다. 한 수가 다른 수의 배수이면 작은 수가 최대공약수, 큰 수가 최소공배수가 됩니다.
자주 묻는 질문 (FAQ)
유클리드 호제법은 왜 빠른가요?
두 수를 소인수분해하지 않고 「큰 수를 작은 수로 나눈 나머지」를 반복하기 때문입니다. 나머지는 매 단계 빠르게 작아져, 큰 수도 몇 단계 안에 최대공약수에 도달합니다.
최소공배수는 왜 곱을 최대공약수로 나누나요?
두 수의 곱에는 공통 인수가 한 번 더 곱해져 있기 때문입니다. 「두 수의 곱 ÷ 최대공약수」로 그 중복을 한 번 제거하면 가장 작은 공통 배수가 됩니다. 예: 12×18=216, 216÷6=36.
서로소는 무엇을 의미하나요?
두 수의 최대공약수가 1인 관계입니다. 1 외에는 공통으로 나누는 수가 없다는 뜻이며, 이때 최소공배수는 두 수의 곱과 같습니다. 예: 8과 15는 서로소이고 최소공배수는 120입니다.
분수 약분·통분에 어떻게 쓰이나요?
분수를 기약분수로 만들 때 분자·분모의 최대공약수로 나누고, 분모가 다른 분수를 더하거나 뺄 때 분모의 최소공배수로 통분 합니다. 약분은 GCD, 통분은 LCM이 핵심입니다.
세 수의 최대공약수·최소공배수는 어떻게 구하나요?
두 수씩 차례로 결합합니다. GCD(a,b,c)=GCD(GCD(a,b),c), LCM(a,b,c)=LCM(LCM(a,b),c)로 계산하며, 본 계산기는 결합 과정을 단계별로 표시합니다.
관련 정보 · 참고 출처
본 페이지의 정보는 한국 초·중학교 수학 교육과정의 약수·배수 표준 산식을 정리한 학습 참고 자료입니다. 최대공약수·최소공배수는 수학적 사실로 법령 변동이 없으며, 본 계산기는 호제법 과정·서로소 여부·공약수 목록을 함께 제공하는 학습·검산 도구입니다.
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